Introduction
Abstract
En
A characterization of v-irreducible elements and of strongly v-irriducible elements of a distributive lattice
was given by D.Drake and W.J.Thorn in (1).Among other things in (1)it was proven that an element
is v-irreducible if one can identify
, by means of a lattice isomorphism f, with a sublattice
of the power set
of a suitable set X, in such a way that
is the closure in
of an element
is the minimum element in
,with respect to the set inclusion, including x).
As is well-known an element of a distributive lattice is v-irreducible iff it is v-prime.This property is exploited is an essential manner in (1).Now then in our paper we took this property as a starting point for a characterization cf v-prime and of strongly v-prime elements of any partially ordered set (in particular of any lattice).Here,on the analogy of some characterization of v-prime elements and of strongly v-prime elements of a lattice, an element c of a partially ordered set(shortly "poset"
) is said v-prime if the subset
is v-directed, i.e.
or for every
(for every(Error rendering LaTeX formula))there exists
such that
for every
); moreover c is said strongly v-prime if
or
has maxium element.Then we prove than an element
is v-prime in
if we can identify
by means of an order isomorphism f,with a set (but not necessarily a lattice) of sets of the type of (1) in such a way that
is the closure in
of a element of
;moreover we prove that c is strongly v-prime in
if for all function f of the above type the set
is the closure in
of an element of
.
It
D.Drake e W.J.Thorn hanno in (1)una caratterizzazione degli elementi v-irriducibili e degli elementi fortemente v-irriducubili di un reticolo distributivo
.tra l'altro in (1)è stato provato che un elemento
è irriducibile se e solo se si può identificare
,tramite un isomorfismo reticolare f,con un sottoreticolo
del reticolo delle parti
di un opportuno insieme X in tal modo che
è la chiusura di
di un certo elemento
(cioè
è il più piccolo elemento di
,rispetto all'inclusione insiemistica, cui appartiene x).Come è ben noto un elemento di un reticolo distributivo è v-irriducibile se e solo se esso è v-primo.Questa propietà è usata in maniera essenziale in (1).In questo lavoro noi prendiamo lo spunto da questa propietà per dare una caratterizzazione degli elementi v-primi e degli elementi fortemente v-primi di un qualsiasi insieme parzialmente ordinato(in particolare di qualsiasi reticolo
). Precisiamo che quì, in analogia con una caratterizzazione degli elementi v-primi e degli elementi fortemente v-primi di un reticolo,un elemto c di un insieme parzialmente ordinato (
è detto v-primo se il sottoinsieme
è v-diretto, cioè
oppure per ogni
per ogni(Error rendering LaTeX formula))esiste
tale che
e
(
per ogni
);inoltre c è detto fortemente v-primo se
oppure
è dotato di massimo.Allora noi proviamo che un elemento
è v-primo in
se e solo se possiamo identificare
, tramite un isomorfismo f rispetto all'ordinamento, con un insieme di insiemi(non necessariamente un reticolo di insiemi) del tipo (1) in modo tale che
è la chiusura in (
di un elemento di
);inoltre proviamo che c è fortemente v-primo in
se e solo se per ogni isomorfismo f del tipo su menzionato l'insieme
è la chiusura in
di un punto di
.
A characterization of v-irreducible elements and of strongly v-irriducible elements of a distributive lattice
![(L,≤)](http://siba-ese.unisalento.it/plugins/generic/latexRender/cache/682a599b02bd41df6c9e4b94ee3589ef.png)
![c ∈ L](http://siba-ese.unisalento.it/plugins/generic/latexRender/cache/38ef6f582f93040c8470c0efd6d2cc41.png)
![(L,≤)](http://siba-ese.unisalento.it/plugins/generic/latexRender/cache/682a599b02bd41df6c9e4b94ee3589ef.png)
![(L',≤)](http://siba-ese.unisalento.it/plugins/generic/latexRender/cache/a97b97603dced7718367b6568de6fdd0.png)
![P(X)](http://siba-ese.unisalento.it/plugins/generic/latexRender/cache/0c3d72395d7576ab13b9e9389f865960.png)
![f(c)](http://siba-ese.unisalento.it/plugins/generic/latexRender/cache/13f62c9aa3411c74f55faa6850ff5fb2.png)
![L'](http://siba-ese.unisalento.it/plugins/generic/latexRender/cache/ea431f3fbe364c2fea2e24bd33a7abc5.png)
![x ∈ X (i.e. F(c))](http://siba-ese.unisalento.it/plugins/generic/latexRender/cache/7a781da852a5b783624e1d7792264b61.png)
![L'](http://siba-ese.unisalento.it/plugins/generic/latexRender/cache/ea431f3fbe364c2fea2e24bd33a7abc5.png)
![S,≤](http://siba-ese.unisalento.it/plugins/generic/latexRender/cache/ce044850ec10ca370270834f799dca6e.png)
![D<sub>c</sub>={S ∈ S : c ≤ s}](http://siba-ese.unisalento.it/plugins/generic/latexRender/cache/fdacc5cfd914e8b2fd65c097444773f0.png)
![D<sub>c</sub> = 0](http://siba-ese.unisalento.it/plugins/generic/latexRender/cache/42ff5ae4b3a38179b9a87860d81afec9.png)
![x<sub>1</sub>, x<sub>2</sub> ∈ D<sub>c</sub>](http://siba-ese.unisalento.it/plugins/generic/latexRender/cache/658d01ec19bdd8a6404b232dbe986827.png)
![t ∈ D<sub>c</sub>](http://siba-ese.unisalento.it/plugins/generic/latexRender/cache/5d6c7353a9e5cfc3f62dab1a85c6e2c9.png)
![x<sub>1</sub> ≤ t (x<sub>i</sub> ≤ t](http://siba-ese.unisalento.it/plugins/generic/latexRender/cache/8374d4bc00db539cdee2307979ee6719.png)
![i = 1, ..., n](http://siba-ese.unisalento.it/plugins/generic/latexRender/cache/999b49b9a185b8af6249464cb87be4ba.png)
![D<sub>c</sub> = 0](http://siba-ese.unisalento.it/plugins/generic/latexRender/cache/42ff5ae4b3a38179b9a87860d81afec9.png)
![D<sub>c</sub>](http://siba-ese.unisalento.it/plugins/generic/latexRender/cache/3eebeb9b6477bcd29193d2e0ab14d528.png)
![c ∈ S](http://siba-ese.unisalento.it/plugins/generic/latexRender/cache/bc01a86e274f139c8e31d4528bdc9bdb.png)
![(S, ≤)](http://siba-ese.unisalento.it/plugins/generic/latexRender/cache/2f4566bb0bd229789d736d9021113033.png)
![S, ≤](http://siba-ese.unisalento.it/plugins/generic/latexRender/cache/2b686866e7bd1d7b9d14f7c20eb0f412.png)
![f(c)](http://siba-ese.unisalento.it/plugins/generic/latexRender/cache/13f62c9aa3411c74f55faa6850ff5fb2.png)
![(f(s),≤)](http://siba-ese.unisalento.it/plugins/generic/latexRender/cache/67a9804394600076dd179a2ee5561d0a.png)
![Uf(s)](http://siba-ese.unisalento.it/plugins/generic/latexRender/cache/29a5c1b586250d3d0dbb56f17ea1ef92.png)
![(S,≤)](http://siba-ese.unisalento.it/plugins/generic/latexRender/cache/a9aff52db18d429eeb3efe71b92d7361.png)
![f(c)](http://siba-ese.unisalento.it/plugins/generic/latexRender/cache/13f62c9aa3411c74f55faa6850ff5fb2.png)
![(f(s),≤)](http://siba-ese.unisalento.it/plugins/generic/latexRender/cache/67a9804394600076dd179a2ee5561d0a.png)
![Uf(s)](http://siba-ese.unisalento.it/plugins/generic/latexRender/cache/29a5c1b586250d3d0dbb56f17ea1ef92.png)
It
D.Drake e W.J.Thorn hanno in (1)una caratterizzazione degli elementi v-irriducibili e degli elementi fortemente v-irriducubili di un reticolo distributivo
![(L,≤)](http://siba-ese.unisalento.it/plugins/generic/latexRender/cache/682a599b02bd41df6c9e4b94ee3589ef.png)
![c ∈ L](http://siba-ese.unisalento.it/plugins/generic/latexRender/cache/38ef6f582f93040c8470c0efd6d2cc41.png)
![(L,≤)](http://siba-ese.unisalento.it/plugins/generic/latexRender/cache/682a599b02bd41df6c9e4b94ee3589ef.png)
![(L',≤)](http://siba-ese.unisalento.it/plugins/generic/latexRender/cache/a97b97603dced7718367b6568de6fdd0.png)
![P(X)](http://siba-ese.unisalento.it/plugins/generic/latexRender/cache/0c3d72395d7576ab13b9e9389f865960.png)
![f(c)](http://siba-ese.unisalento.it/plugins/generic/latexRender/cache/13f62c9aa3411c74f55faa6850ff5fb2.png)
![L'](http://siba-ese.unisalento.it/plugins/generic/latexRender/cache/ea431f3fbe364c2fea2e24bd33a7abc5.png)
![x ∈ X](http://siba-ese.unisalento.it/plugins/generic/latexRender/cache/a0ea9ade24d155e6b879b61ba19fb8e2.png)
![f(c)](http://siba-ese.unisalento.it/plugins/generic/latexRender/cache/13f62c9aa3411c74f55faa6850ff5fb2.png)
![L'](http://siba-ese.unisalento.it/plugins/generic/latexRender/cache/ea431f3fbe364c2fea2e24bd33a7abc5.png)
![(S,≤)](http://siba-ese.unisalento.it/plugins/generic/latexRender/cache/a9aff52db18d429eeb3efe71b92d7361.png)
![(S,≤)](http://siba-ese.unisalento.it/plugins/generic/latexRender/cache/a9aff52db18d429eeb3efe71b92d7361.png)
![D<sub>c</sub>={s ∈ S : c ≤ s}](http://siba-ese.unisalento.it/plugins/generic/latexRender/cache/93e1eecec5f67299a7471647f570aa88.png)
![D<sub>c</sub> = 0](http://siba-ese.unisalento.it/plugins/generic/latexRender/cache/42ff5ae4b3a38179b9a87860d81afec9.png)
![x<sub>1</sub>, x<sub>2</sub> ∈ D<sub>c</sub>](http://siba-ese.unisalento.it/plugins/generic/latexRender/cache/658d01ec19bdd8a6404b232dbe986827.png)
![t ∈ D<sub>c</sub>](http://siba-ese.unisalento.it/plugins/generic/latexRender/cache/5d6c7353a9e5cfc3f62dab1a85c6e2c9.png)
![x<sub>1</sub> ≤ t](http://siba-ese.unisalento.it/plugins/generic/latexRender/cache/817a28fad787c85a5567bffbb135c6e3.png)
![x<sub>2</sub> ≤ t](http://siba-ese.unisalento.it/plugins/generic/latexRender/cache/ebaaaec73529a406e7fdff3e9d9b0963.png)
![x<sub>i</sub> ≤ t](http://siba-ese.unisalento.it/plugins/generic/latexRender/cache/e46a47b71be9dbee89bf3fb0b9d84d68.png)
![i = 1, ..., n](http://siba-ese.unisalento.it/plugins/generic/latexRender/cache/999b49b9a185b8af6249464cb87be4ba.png)
![D<sub>c</sub> = 0](http://siba-ese.unisalento.it/plugins/generic/latexRender/cache/42ff5ae4b3a38179b9a87860d81afec9.png)
![D<sub>c</sub>](http://siba-ese.unisalento.it/plugins/generic/latexRender/cache/3eebeb9b6477bcd29193d2e0ab14d528.png)
![c ∈ S](http://siba-ese.unisalento.it/plugins/generic/latexRender/cache/bc01a86e274f139c8e31d4528bdc9bdb.png)
![(S, ≤)](http://siba-ese.unisalento.it/plugins/generic/latexRender/cache/2f4566bb0bd229789d736d9021113033.png)
![(S, ≤)](http://siba-ese.unisalento.it/plugins/generic/latexRender/cache/2f4566bb0bd229789d736d9021113033.png)
![f(c)](http://siba-ese.unisalento.it/plugins/generic/latexRender/cache/13f62c9aa3411c74f55faa6850ff5fb2.png)
![(f(S), ≤)](http://siba-ese.unisalento.it/plugins/generic/latexRender/cache/bb78f9003789d5193cbbc0e60145640b.png)
![Uf(s)](http://siba-ese.unisalento.it/plugins/generic/latexRender/cache/29a5c1b586250d3d0dbb56f17ea1ef92.png)
![(S, ≤)](http://siba-ese.unisalento.it/plugins/generic/latexRender/cache/2f4566bb0bd229789d736d9021113033.png)
![f(c)](http://siba-ese.unisalento.it/plugins/generic/latexRender/cache/13f62c9aa3411c74f55faa6850ff5fb2.png)
![(f(S), ≤)](http://siba-ese.unisalento.it/plugins/generic/latexRender/cache/bb78f9003789d5193cbbc0e60145640b.png)
![Uf(s)](http://siba-ese.unisalento.it/plugins/generic/latexRender/cache/29a5c1b586250d3d0dbb56f17ea1ef92.png)
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